محاسبه آنلاین عدد پرانتل و خواص انتقال حرارت سیال

عدد پرانتل یکی از اعداد بدون بعد مهم در مکانیک سیالات و انتقال حرارت است. این عدد نسبت سرعت پخش مومنتوم در سیال به سرعت پخش حرارت را نشان می‌دهد و در بسیاری از روابط جابه‌جایی اجباری و طبیعی، محاسبه عدد ناسلت و تعیین ضریب انتقال حرارت حضور دارد.

محاسبه‌گر این صفحه عدد پرانتل را به دو روش محاسبه می‌کند. در روش نخست از ویسکوزیته سینماتیکی و پخشایی حرارتی استفاده می‌شود. در روش دوم، ویسکوزیته دینامیکی، گرمای ویژه در فشار ثابت و ضریب هدایت حرارتی سیال وارد رابطه می‌شوند.

همچنین می‌توان یکی از خواص موجود در هر رابطه را خالی گذاشت تا همان پارامتر به‌صورت خودکار محاسبه شود.

محاسبه آنلاین عدد پرانتل

عدد پرانتل چیست؟

عدد پرانتل با نماد Pr نسبت پخش مومنتوم به پخش حرارت در سیال را بیان می‌کند:

در این رابطه:

• Pr: عدد پرانتل
• ν: ویسکوزیته سینماتیکی یا پخشایی مومنتوم
• α: پخشایی حرارتی

ویسکوزیته سینماتیکی نشان می‌دهد تغییرات مومنتوم با چه سرعتی در سیال پخش می‌شوند. پخشایی حرارتی نیز سرعت پخش تغییرات دما در سیال را بیان می‌کند.

از آنجا که هر دو کمیت ν و α واحد سطح بر زمان دارند، واحدها در تقسیم بر یکدیگر حذف می‌شوند. بنابراین عدد پرانتل یک عدد بدون بعد است.

رابطه عدد پرانتل با خواص سیال

ویسکوزیته سینماتیکی از تقسیم ویسکوزیته دینامیکی بر چگالی سیال به دست می‌آید:

پخشایی حرارتی نیز برابر است با:

با جای‌گذاری این دو رابطه در تعریف عدد پرانتل، چگالی حذف می‌شود:

در این رابطه:

• μ: ویسکوزیته دینامیکی
• c_p: گرمای ویژه در فشار ثابت
• k: ضریب هدایت حرارتی سیال

به همین دلیل برای محاسبه عدد پرانتل از رابطه دوم، ورود مستقیم چگالی سیال لازم نیست.

دو روش محاسبه در ماژول

روش اول: ویسکوزیته سینماتیکی و پخشایی حرارتی

در این روش از رابطه زیر استفاده می‌شود:

دقیقاً یکی از سه پارامتر زیر باید خالی گذاشته شود:

• ویسکوزیته سینماتیکی
• پخشایی حرارتی
• عدد پرانتل

اگر عدد پرانتل خالی باشد، ماژول آن را مستقیماً از نسبت ν/α به دست می‌آورد.

اگر ویسکوزیته سینماتیکی مجهول باشد:

اگر پخشایی حرارتی مجهول باشد:

روش دوم: خواص حرارتی و ویسکوزیته دینامیکی

در روش دوم از رابطه زیر استفاده می‌شود:

در این حالت دقیقاً یکی از چهار پارامتر زیر باید خالی گذاشته شود:

• ویسکوزیته دینامیکی
• گرمای ویژه در فشار ثابت
• ضریب هدایت حرارتی
• عدد پرانتل

ماژول فیلد خالی را تشخیص داده و رابطه را برای همان پارامتر حل می‌کند.

محاسبه ویسکوزیته دینامیکی

اگر عدد پرانتل، گرمای ویژه و ضریب هدایت حرارتی معلوم باشند، ویسکوزیته دینامیکی از رابطه زیر محاسبه می‌شود:

ویسکوزیته دینامیکی مقاومت داخلی سیال در برابر تغییر شکل برشی را نشان می‌دهد. این خاصیت به دما و در برخی سیالات به فشار وابستگی قابل توجهی دارد.

محاسبه گرمای ویژه سیال

اگر ویسکوزیته دینامیکی، ضریب هدایت حرارتی و عدد پرانتل معلوم باشند:

گرمای ویژه در فشار ثابت مقدار انرژی لازم برای افزایش دمای واحد جرم سیال به‌اندازه یک درجه، در شرایط فشار ثابت است.

در رابطه عدد پرانتل باید از c_p استفاده شود، نه گرمای ویژه در حجم ثابت c_v.

محاسبه ضریب هدایت حرارتی

اگر ویسکوزیته دینامیکی، گرمای ویژه و عدد پرانتل معلوم باشند:

ضریب هدایت حرارتی توانایی سیال در انتقال انرژی گرمایی به روش هدایت را نشان می‌دهد. هرچه مقدار k بیشتر باشد، حرارت درون سیال سریع‌تر از طریق هدایت پخش می‌شود.

محاسبه پخشایی حرارتی

پخشایی حرارتی از رابطه زیر تعریف می‌شود:

پخشایی حرارتی فقط به هدایت حرارتی وابسته نیست. ظرفیت ذخیره انرژی حجمی سیال، یعنی حاصل‌ضرب چگالی و گرمای ویژه، نیز در آن اثر دارد.

سیالی با پخشایی حرارتی زیاد، تغییرات دما را در مقایسه با سیالی با پخشایی حرارتی کم، سریع‌تر در فضای خود پخش می‌کند.

محاسبه ویسکوزیته سینماتیکی

ویسکوزیته سینماتیکی از رابطه زیر به دست می‌آید:

این پارامتر را می‌توان به‌عنوان پخشایی مومنتوم در نظر گرفت. ویسکوزیته سینماتیکی در محاسبه عدد رینولدز نیز حضور دارد:

در نتیجه عدد پرانتل ارتباط میان رفتار مومنتومی مورد استفاده در عدد رینولدز و رفتار حرارتی سیال را برقرار می‌کند.

تفسیر عدد پرانتل کمتر از یک

اگر:

پخشایی حرارتی از ویسکوزیته سینماتیکی بزرگ‌تر است:

در این شرایط تغییرات دما نسبت به تغییرات مومنتوم سریع‌تر در سیال پخش می‌شوند.

در بسیاری از مسائل لایه مرزی، عدد پرانتل کمتر از یک با ضخامت بیشتر لایه مرزی حرارتی نسبت به لایه مرزی سرعت همراه است.

برخی فلزات مایع دارای عدد پرانتل بسیار کوچک هستند؛ زیرا هدایت حرارتی آنها نسبتاً زیاد است.

تفسیر عدد پرانتل نزدیک به یک

اگر:

پخش مومنتوم و حرارت از نظر مقیاس زمانی تقریباً مشابه هستند:

در این وضعیت، توسعه لایه مرزی سرعت و لایه مرزی حرارتی می‌تواند از نظر مرتبه بزرگی مشابه باشد.

تفسیر عدد پرانتل بزرگ‌تر از یک

اگر:

ویسکوزیته سینماتیکی از پخشایی حرارتی بزرگ‌تر است:

در این شرایط مومنتوم در مقایسه با حرارت سریع‌تر پخش می‌شود. در بسیاری از مسائل لایه مرزی، لایه مرزی حرارتی از لایه مرزی سرعت نازک‌تر خواهد بود.

روغن‌ها و مایعات با ویسکوزیته زیاد می‌توانند عدد پرانتل بزرگی داشته باشند.

آیا عدد پرانتل به دما وابسته است؟

بله. عدد پرانتل از خواصی تشکیل شده است که خود به دما وابسته‌اند:

• ویسکوزیته دینامیکی
• گرمای ویژه
• ضریب هدایت حرارتی
• ویسکوزیته سینماتیکی
• پخشایی حرارتی

در مایعات، ویسکوزیته معمولاً با افزایش دما کاهش پیدا می‌کند. از آنجا که تغییر ویسکوزیته می‌تواند نسبت به تغییر سایر خواص شدیدتر باشد، عدد پرانتل نیز ممکن است با دما تغییر قابل توجهی داشته باشد.

در گازها نیز عدد پرانتل به دما و ترکیب گاز وابسته است، هرچند رفتار آن با مایعات یکسان نیست.

خواص سیال در چه دمایی انتخاب شوند؟

دمای مناسب برای استخراج خواص به نوع مسئله و رابطه انتقال حرارت مورد استفاده وابسته است. در بسیاری از محاسبات جابه‌جایی، خواص در دمای میانگین حجمی سیال، دمای فیلم یا دمایی که همبستگی مشخص کرده است، ارزیابی می‌شوند.

دمای فیلم معمولاً به‌صورت میانگین دمای سطح و دمای جریان آزاد تعریف می‌شود:

بااین‌حال، این انتخاب یک قانون عمومی برای تمام روابط نیست. دمای مرجع باید مطابق تعریف همبستگی انتقال حرارت انتخاب شود.

کاربرد عدد پرانتل در انتقال حرارت جابه‌جایی

عدد پرانتل در بسیاری از روابط تجربی و نیمه‌تجربی انتقال حرارت جابه‌جایی حضور دارد. یک ساختار متداول برای همبستگی‌های جریان اجباری به شکل زیر است:

در این رابطه:

• Nu: عدد ناسلت
• Re: عدد رینولدز
• Pr: عدد پرانتل

پس از محاسبه عدد ناسلت، ضریب انتقال حرارت جابه‌جایی از رابطه زیر به دست می‌آید:

بنابراین عدد پرانتل به‌تنهایی ضریب انتقال حرارت را تعیین نمی‌کند، اما یکی از پارامترهای اصلی بسیاری از همبستگی‌هاست.

عدد پرانتل در جریان داخلی لوله

در محاسبه انتقال حرارت داخل لوله، عدد پرانتل همراه با عدد رینولدز برای تعیین رفتار حرارتی جریان استفاده می‌شود.

برای جریان آشفته در لوله‌ها، بسیاری از همبستگی‌ها ساختاری مشابه رابطه زیر دارند:

مقادیر ضرایب و توان‌ها به همبستگی، شرایط گرمایش یا سرمایش، محدوده رینولدز، نسبت طول به قطر و وضعیت خواص سیال وابسته‌اند.

نباید یک رابطه عدد ناسلت بدون کنترل محدوده اعتبار آن برای تمام جریان‌ها به کار رود.

عدد پرانتل در جابه‌جایی طبیعی

در جابه‌جایی طبیعی، عدد پرانتل همراه با عدد گراشف در عدد رایلی ظاهر می‌شود:

عدد رایلی برای بررسی شدت جریان شناوری و انتخاب روابط جابه‌جایی طبیعی کاربرد دارد.

بنابراین تغییر عدد پرانتل می‌تواند بر مقدار عدد رایلی و همبستگی ضریب انتقال حرارت طبیعی اثر بگذارد.

عدد پرانتل در لایه مرزی حرارتی

هنگام عبور سیال از روی یک سطح، لایه‌ای تشکیل می‌شود که در آن سرعت از مقدار روی دیواره تا سرعت جریان آزاد تغییر می‌کند. هم‌زمان، در صورت اختلاف دما میان سطح و سیال، لایه مرزی حرارتی نیز شکل می‌گیرد.

عدد پرانتل ارتباط نسبی میان توسعه این دو لایه را نشان می‌دهد:

• Pr < 1: پخش حرارت سریع‌تر و لایه حرارتی معمولاً ضخیم‌تر
• Pr ≈ 1: توسعه حرارتی و مومنتومی هم‌مرتبه
• Pr > 1: پخش مومنتوم سریع‌تر و لایه حرارتی معمولاً نازک‌تر

این تفسیر کیفی است و شکل دقیق لایه‌های مرزی به هندسه، رژیم جریان و شرایط مرزی نیز وابسته است.

عدد پرانتل آب

عدد پرانتل آب به دما وابسته است. در دمای نزدیک به محیط، مقدار آن معمولاً چند برابر یک است. با افزایش دمای آب و کاهش ویسکوزیته، عدد پرانتل نیز تغییر می‌کند.

مقادیر پیش‌فرض ماژول نمونه‌ای نزدیک به خواص آب در دمای معمول اتاق هستند:

• ویسکوزیته سینماتیکی حدود 1.0×10^-6 m²/s
• پخشایی حرارتی حدود 1.43×10^-7 m²/s
• ویسکوزیته دینامیکی حدود 1.002 mPa·s
• گرمای ویژه حدود 4.182 kJ/(kg·K)
• هدایت حرارتی حدود 0.598 W/(m·K)

این اعداد فقط برای نمونه اولیه فرم قرار داده شده‌اند. در محاسبه واقعی باید خواص سیال در دمای طراحی وارد شوند.

عدد پرانتل هوا

عدد پرانتل هوا در بسیاری از شرایط متداول نزدیک به یک ولی کمتر از آن است. این موضوع نشان می‌دهد پخش حرارت و مومنتوم در هوا از نظر مرتبه بزرگی نسبتاً نزدیک‌اند.

بااین‌حال، برای محاسبات دقیق باید خواص هوا در دمای و فشار واقعی مسئله استخراج شوند؛ به‌ویژه در دماهای بالا، فشارهای غیرمعمول یا مخلوط‌های گازی.

عدد پرانتل روغن‌ها

روغن‌ها به علت ویسکوزیته بیشتر و پخشایی حرارتی نسبتاً کم می‌توانند عدد پرانتل بزرگی داشته باشند.

در این سیالات، خواص حرارتی و به‌خصوص ویسکوزیته می‌توانند با دما به‌شدت تغییر کنند. بنابراین استفاده از یک مقدار ثابت در بازه دمایی وسیع ممکن است خطای قابل توجهی ایجاد کند.

عدد پرانتل فلزات مایع

فلزات مایع معمولاً هدایت حرارتی زیادی دارند و در نتیجه پخشایی حرارتی آنها می‌تواند بسیار بزرگ باشد. به همین علت عدد پرانتل آنها اغلب بسیار کوچک است.

برای این سیالات، روابط انتقال حرارت مخصوص جریان‌های با عدد پرانتل کم باید استفاده شوند و همبستگی‌های متداول آب یا هوا الزاماً معتبر نیستند.

تفاوت عدد پرانتل و عدد رینولدز

عدد رینولدز نسبت نیروهای اینرسی به نیروهای لزج را بیان می‌کند:

عدد پرانتل نسبت پخش مومنتوم به پخش حرارت را نشان می‌دهد:

عدد رینولدز به سرعت، طول مشخصه و هندسه جریان وابسته است، اما عدد پرانتل در یک وضعیت ترمودینامیکی مشخص، خاصیت سیال محسوب می‌شود.

تفاوت عدد پرانتل و عدد ناسلت

عدد ناسلت نسبت انتقال حرارت جابه‌جایی به هدایت حرارتی در مقیاس مشخص را بیان می‌کند:

عدد پرانتل یکی از ورودی‌های بسیاری از روابط محاسبه عدد ناسلت است. بنابراین:

• عدد پرانتل ویژگی نسبی پخش حرارت و مومنتوم در سیال است.
• عدد ناسلت میزان تقویت انتقال حرارت به علت حرکت سیال را بیان می‌کند.

تفاوت عدد پرانتل و عدد اشمیت

عدد اشمیت در انتقال جرم نقشی مشابه عدد پرانتل در انتقال حرارت دارد:

در عدد اشمیت، ویسکوزیته سینماتیکی با ضریب نفوذ جرمی مقایسه می‌شود. در عدد پرانتل، ویسکوزیته سینماتیکی با پخشایی حرارتی مقایسه می‌شود.

مثال محاسبه عدد پرانتل از پخشایی‌ها

فرض کنید:

• ویسکوزیته سینماتیکی: 1.0×10^-6 m²/s
• پخشایی حرارتی: 1.43×10^-7 m²/s

عدد پرانتل برابر است با:

این نتیجه نشان می‌دهد ویسکوزیته سینماتیکی تقریباً هفت برابر پخشایی حرارتی است.

مثال محاسبه عدد پرانتل از خواص سیال

برای خواص تقریبی زیر:

• ویسکوزیته دینامیکی: 1.002 mPa·s
• گرمای ویژه: 4.182 kJ/(kg·K)
• هدایت حرارتی: 0.598 W/(m·K)

ابتدا واحدها به دستگاه SI تبدیل می‌شوند:

سپس:

اختلاف جزئی میان نتیجه این روش و روش پخشایی‌ها می‌تواند ناشی از گردکردن خواص ورودی باشد.

مثال محاسبه پخشایی حرارتی

فرض کنید:

• ویسکوزیته سینماتیکی: 1.0×10^-6 m²/s
• عدد پرانتل: 7

پخشایی حرارتی:

مثال محاسبه ضریب هدایت حرارتی

فرض کنید:

• عدد پرانتل: ۷
• ویسکوزیته دینامیکی: 0.001 Pa·s
• گرمای ویژه: 4200 J/(kg·K)

ضریب هدایت حرارتی:

واحدهای ویسکوزیته سینماتیکی و پخشایی حرارتی

ماژول از واحدهای زیر پشتیبانی می‌کند:

• m²/s
• mm²/s
• cm²/s
• ft²/s
• ft²/h

یک mm²/s از نظر مقدار برابر یک سانتی‌استوکس یا cSt است.

واحدهای ویسکوزیته دینامیکی

واحدهای قابل انتخاب عبارت‌اند از:

• Pa·s
• mPa·s
• cP
• lbm/(ft·s)
• lbm/(ft·h)

یک میلی‌پاسکال‌ثانیه از نظر مقدار برابر یک سانتی‌پواز است:

واحدهای گرمای ویژه

• J/(kg·K)
• kJ/(kg·K)
• Btu/(lbm·°F)

هنگام ورود داده باید به تفاوت ژول و کیلوژول توجه شود. یک خطای هزاربرابری در واحد گرمای ویژه مستقیماً نتیجه عدد پرانتل را هزار برابر تغییر می‌دهد.

واحدهای ضریب هدایت حرارتی

• W/(m·K)
• mW/(m·K)
• Btu/(h·ft·°F)

ضریب هدایت حرارتی واردشده باید مربوط به خود سیال باشد، نه جنس لوله، عایق یا دیواره مبدل حرارتی.

روش استفاده از محاسبه‌گر

1. روش محاسبه را از میان نسبت پخشایی‌ها یا خواص سیال انتخاب کنید.
2. واحد هر خاصیت را مشخص کنید.
3. دقیقاً یکی از پارامترهای اصلی روش انتخابی را خالی بگذارید.
4. خواص را در یک دما و فشار مرجع یکسان وارد کنید.
5. دکمه محاسبه را بزنید.
6. عدد پرانتل و مقدار پارامتر محاسبه‌شده را بررسی کنید.

خطاهای رایج در محاسبه عدد پرانتل

• ترکیب خواص سیال در دماهای متفاوت
• استفاده از گرمای ویژه حجم ثابت به‌جای فشار ثابت
• اشتباه‌گرفتن ویسکوزیته دینامیکی و سینماتیکی
• واردکردن سانتی‌پواز به‌عنوان پاسکال‌ثانیه
• اشتباه‌گرفتن ژول و کیلوژول در واحد گرمای ویژه
• استفاده از هدایت حرارتی دیواره به‌جای هدایت حرارتی سیال
• استفاده از خواص آب برای محلول آب‌گلیکول
• استفاده از یک مقدار ثابت در بازه دمایی وسیع
• فرض اینکه عدد پرانتل به‌تنهایی ضریب انتقال حرارت را مشخص می‌کند
• استفاده از رابطه ناسلت خارج از محدوده معتبر عدد پرانتل
• خالی‌گذاشتن بیش از یک پارامتر در فرم

پرسش‌های متداول

آیا عدد پرانتل واحد دارد؟

خیر. عدد پرانتل بدون بعد است؛ زیرا نسبت دو کمیت با واحد سطح بر زمان یا حاصل ترکیب سازگار خواص سیال است.

برای محاسبه عدد پرانتل کدام روش بهتر است؟

هر دو روش از نظر ریاضی معادل‌اند. روش مناسب به داده‌های در دسترس بستگی دارد. اگر ویسکوزیته سینماتیکی و پخشایی حرارتی موجود باشند، روش نخست مستقیم‌تر است.

چرا نتایج دو روش کمی متفاوت می‌شوند؟

مقادیر خواص ممکن است گرد شده باشند یا از منابع و دماهای متفاوت گرفته شده باشند. اگر همه خواص دقیق و مربوط به یک وضعیت باشند، دو روش باید نتیجه یکسانی ایجاد کنند.

آیا چگالی برای محاسبه عدد پرانتل لازم است؟

در رابطه Pr=ν/α چگالی به‌طور ضمنی در تعریف هر دو خاصیت وجود دارد. در رابطه Pr=μc_p/k چگالی حذف می‌شود و نیازی به ورود مستقیم آن نیست.

آیا عدد پرانتل با دبی تغییر می‌کند؟

عدد پرانتل در یک دما، فشار و ترکیب مشخص، خاصیت سیال است و مستقیماً به دبی یا قطر لوله وابسته نیست. تغییر دبی ممکن است دمای سیال را تغییر دهد و از این طریق بر خواص و عدد پرانتل اثر بگذارد.

آیا می‌توان عدد پرانتل مخلوط آب و گلیکول را با خواص آب محاسبه کرد؟

خیر. باید ویسکوزیته، گرمای ویژه و هدایت حرارتی همان محلول، با غلظت و دمای واقعی، استفاده شوند.

عدد پرانتل بزرگ به چه معناست؟

یعنی پخش مومنتوم نسبت به پخش حرارت سریع‌تر است. در بسیاری از مسائل لایه مرزی، لایه حرارتی نسبت به لایه سرعت نازک‌تر می‌شود.

عدد پرانتل کوچک به چه معناست؟

یعنی حرارت نسبت به مومنتوم سریع‌تر در سیال پخش می‌شود. این وضعیت در سیالاتی با پخشایی حرارتی زیاد مشاهده می‌شود.

آیا این ماژول عدد ناسلت را نیز محاسبه می‌کند؟

خیر. عدد ناسلت علاوه بر پرانتل به هندسه، عدد رینولدز، شرایط مرزی و همبستگی مناسب نیاز دارد.

خواص سیال را در دمای سطح وارد کنیم یا دمای سیال؟

دمای ارزیابی خواص باید مطابق تعریف رابطه انتقال حرارت مورد استفاده انتخاب شود. این دما ممکن است دمای میانگین سیال، دمای فیلم، دمای دیواره یا دمای دیگری باشد.

منابع فنی پیشنهادی

• مراجع انتقال حرارت جابه‌جایی، اعداد بدون بعد و تحلیل لایه مرزی.
• مراجع مکانیک سیالات، ویسکوزیته سینماتیکی و پخش مومنتوم.
• جداول معتبر خواص ترموفیزیکی سیالات در دما و فشار طراحی.
• مراجع محاسبه عدد ناسلت برای جریان داخلی و خارجی.
• روابط جابه‌جایی طبیعی و تعریف اعداد گراشف و رایلی.

نویسنده: حسین مقدم سپهر (سیاوش سپهر)